Cue Logo
JP
ランキングコース分析
Cue Logo
ランキングコース分析
JP
|
菜園の面積を最大化する二次関数の応用

菜園の面積を最大化する二次関数の応用

数学16歳2 回視聴
Cue Official

ある壁の前に、合計 40 m40\text{ m}40 m のロープを使って長方形の菜園を作ります。壁の部分にはロープを使用しないものとするとき、菜園の面積を最大にする「壁と平行な辺」の長さは何  m\text{ m} m にすればよいでしょうか？

Learning Guide

この問題をもっと深く学ぶ

詳細解説

この問題は、日常生活のシチュエーションを数学的モデル（二次関数）に落とし込んで解決する典型的な「最適化問題」です。 ### 考え方のプロセス 1. **変数の設定と定義域**: 壁と平行な辺の長さを x mx\text{ m}x m とします。長方形を作るためには辺の長さがプラスである必要があるため、x>0x > 0x>0 です。 ロープの全長は 40 m40\text{ m}40 m なので、壁に垂直な2辺の合計は 40−x m40 - x\text{ m}40−x m となり、1辺あたり 40−x2 m\frac{40-x}{2}\text{ m}240−x​ m です。これもプラスでなければならないため、40−x2>0  ⟹  x<40\frac{40-x}{2} > 0 \implies x < 40240−x​>0⟹x<40。したがって、変数 xxx の定義域は 0<x<400 < x < 400<x<40 となります。 2. **関数の定式化**: 菜園の面積を S(x)S(x)S(x) とすると、面積は（縦 ×\times× 横）で求められるため、次式が成り立ちます。
S(x)=x⋅40−x2=−12x2+20xS(x) = x \cdot \frac{40 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 20xS(x)=x⋅240−x​=−21​x2+20x
3. **最大値の決定（平方完成によるアプローチ）**: この二次関数を平方完成します。
S(x)=−12(x2−40x)=−12{(x−20)2−400}=−12(x−20)2+200S(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 40x) = -\frac{1}{2}\{(x - 20)^2 - 400\} = -\frac{1}{2}(x - 20)^2 + 200S(x)=−21​(x2−40x)=−21​{(x−20)2−400}=−21​(x−20)2+200
これは上に凸の放物線であり、頂点は (20,200)(20, 200)(20,200) です。定義域 0<x<400 < x < 400<x<40 の範囲に x=20x = 20x=20 が含まれているため、面積 S(x)S(x)S(x) は x=20 mx = 20\text{ m}x=20 m のときに最大値 200 m2200\text{ m}^2200 m2 をとります。 ### 別解：相加・相乗平均の不等式によるアプローチ 高校数学の強力なツールである「相加・相乗平均の関係（a+b≥2aba + b \ge 2\sqrt{ab}a+b≥2ab​）」を使うこともできます。 垂直な辺を y=40−x2y = \frac{40-x}{2}y=240−x​ と置くと、x+2y=40x + 2y = 40x+2y=40 という一定の関係があります。 x>0x > 0x>0 かつ 2y>02y > 02y>0 より、
x+2y2≥x⋅2y\frac{x + 2y}{2} \ge \sqrt{x \cdot 2y}2x+2y​≥x⋅2y​
20≥2xy  ⟹  400≥2xy  ⟹  xy≤20020 \ge \sqrt{2xy} \implies 400 \ge 2xy \implies xy \le 20020≥2xy​⟹400≥2xy⟹xy≤200
等号が成立するのは x=2yx = 2yx=2y、すなわち x=20x = 20x=20, y=10y = 10y=10 のときです。このとき、面積 xyxyxy は最大値 200200200 に達します。 ### 誤解しやすいポイント 「正方形が一番面積が広くなる」という直感から、3つの辺をすべて等しく（40÷3≈13.3 m40 \div 3 \approx 13.3\text{ m}40÷3≈13.3 m）にしようとしてしまう誤りがあります。しかし、壁がある（1辺のコストが不要な）場合は、壁と平行な辺を垂直な辺の「2倍」にする（アスペクト比 2:1）のが最も効率的になります。

学習ポイント

  • 日常生活の課題を変数と関数を用いて定式化する数学的モデリングの習得
  • 二次関数の平方完成を用いた最大値・最小値問題の解法プロセス
  • 変数の取り得る値の範囲（定義域）を状況から正しく導き出す重要性
  • 相加・相乗平均の関係を用いたアプローチによる、多角的な最大値の求め方

関連知識

この問題は「等周問題（周の長さが一定の図形の中で、面積を最大にするものは何か）」という、歴史的な数学テーマのバリエーションです。平面上で周囲の長さが一定のとき、最も面積が大きくなるのは「円」です。しかし、本問のように壁を利用する場合や、特定の形状制限がある場合、物理的な制約（材料コストの最小化や敷地境界の最適化）における数理最適化の基礎として、建築や農業のデザイン現場で今でも活用されています。

出典

  • 文部科学省 高等学校学習指導要領（平成30年告示）数学I「二次関数」および数学II「微分の考え」

参考文献・参考資料

  • 『チャート式 基礎からの数学I+A』数研出版
  • 『プロの数学：身近な疑問を数学で解決する』技術評論社

0 件のコメント

コメントするにはログインしてください

次のおすすめ

『宵待草』に学ぶ「ぬ」の識別
15歳

『宵待草』に学ぶ「ぬ」の識別

Cue Official

• 0 回
大正ロマンと日本語の革新！「話し言葉」で歌う新しい童謡
15歳

大正ロマンと日本語の革新！「話し言葉」で歌う新しい童謡

Cue Official

• 0 回
SNNとANNの数理：連続時間と不連続スパイク
20歳

SNNとANNの数理：連続時間と不連続スパイク

Cue Official

• 0 回
誤差逆伝播法の数学的必然性
20歳

誤差逆伝播法の数学的必然性

Cue Official

• 0 回
細胞分裂の時間を巻き戻せ！ 過去(マイナス)の細胞数は？
13歳

細胞分裂の時間を巻き戻せ！ 過去(マイナス)の細胞数は？

Cue Official

• 0 回
月面着陸！安全な減速の秘密
16歳

月面着陸！安全な減速の秘密

Cue Official

• 0 回
Cue Logo
Cue

すべての人に学ぶことの楽しさを。
直感的なクイズで知的好奇心を刺激するプラットフォーム。

NewPopular
PrivacyTermsContact

© Cue Team. All rights reserved.