『消える分数の魔法！』部分分数分解のパズル

算数12歳

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次の分数の足し算を工夫して計算してみましょう。
$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6}$
この計算を、すべて通分して解こうとすると、分母がとても大きくなり計算が大変です。しかし、それぞれの分数を「ある引き算の形」に分解するという工夫をすると、途中の数字が次々と消えて、驚くほど簡単に答えを求めることができます。この式の計算結果として正しいものはどれでしょうか。

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詳細解説

この計算テクニックは「部分分数分解（ぶぶんぶんすうぶんかい）」、英語では「テレスコーピング・サム（望遠鏡和）」と呼ばれます。折りたたみ式の望遠鏡を縮めるように、長い式がキュッと短くなる様子に由来しています。 **【考え方のステップ】** 1. それぞれの分数に注目します。例えば

\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}

です。 2. これを

\frac{1}{2} - \frac{1}{3}

という引き算に変形してみましょう。通分すると

\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}

となり、確かに元の分数と同じ値になります。 3. すべての分数をこのルールで分解して、足し合わせます。

(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6})

4. カッコを外すと、

-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

、

-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}

のように、打ち消し合うペアが連続して現れます。 5. 結局、最初にある

1

と、最後にある

-\frac{1}{6}

だけが残り、全体の計算は

1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

になります。 **【誤解しやすいポイント】** 分解するときは、必ず「分母が小さい分数（値が大きい）」から「分母が大きい分数（値が小さい）」を引く順番になっていることを確認しましょう。順序を逆にすると値がマイナスになってしまい、正しく計算が合いません。 **【実生活や社会とのつながり】** 一見複雑で解決が難しそうな問題でも、ルールを見つけて構造をシンプルにすることで、一瞬で解決できることがあります。プログラミングで大量のデータを高速で処理するアルゴリズムを設計する際や、複雑に絡み合った社会の課題をシンプルに整理して解決する際にも、この「構造を捉える力」が非常に役立ちます。