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三次関数による工場生産効率の最適化

三次関数による工場生産効率の最適化

数学18歳0 回視聴
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ある工場の生産ラインにおいて、稼働開始からの時間 ttt （時間, 0≤t≤60 \le t \le 60≤t≤6）における生産効率（単位時間あたりの製品生産数） R(t)R(t)R(t) が、次の三次関数でモデル化されています。
R(t)=−t3+9t2−15t+30R(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 30R(t)=−t3+9t2−15t+30
この生産ラインの生産効率 R(t)R(t)R(t) が最大となるのは、稼働開始から何時間後でしょうか。

Learning Guide

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詳細解説

実社会の生産プロセスや経済活動では、稼働初期の立ち上がり、中盤の安定、終盤の疲労や機械熱による効率低下などにより、効率が非線形に変化することがよくあります。これらを数学的にモデル化し、最適な稼働時間を決定する問題を「最適化問題」と呼びます。 本問では、生産効率 R(t)=−t3+9t2−15t+30R(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 30R(t)=−t3+9t2−15t+30 (0≤t≤60 \le t \le 60≤t≤6) の最大値を求めます。 まず、効率の変化率を示す導関数を計算します。
R′(t)=−3t2+18t−15=−3(t2−6t+5)=−3(t−1)(t−5)R'(t) = -3t^2 + 18t - 15 = -3(t^2 - 6t + 5) = -3(t-1)(t-5)R′(t)=−3t2+18t−15=−3(t2−6t+5)=−3(t−1)(t−5)
R′(t)=0R'(t) = 0R′(t)=0 となるのは t=1t=1t=1 または t=5t=5t=5 のときです。 区間 0≤t≤60 \le t \le 60≤t≤6 における R(t)R(t)R(t) の増減表を作成すると、以下のようになります。 - t=0t=0t=0 のとき R(0)=30R(0) = 30R(0)=30 - 0<t<10 < t < 10<t<1 のとき R′(t)<0R'(t) < 0R′(t)<0 (減少) - t=1t=1t=1 のとき極小値 R(1)=23R(1) = 23R(1)=23 - 1<t<51 < t < 51<t<5 のとき R′(t)>0R'(t) > 0R′(t)>0 (増加) - t=5t=5t=5 のとき極大値 R(5)=−125+225−75+30=55R(5) = -125 + 225 - 75 + 30 = 55R(5)=−125+225−75+30=55 - 5<t<65 < t < 65<t<6 のとき R′(t)<0R'(t) < 0R′(t)<0 (減少) - t=6t=6t=6 のとき R(6)=−216+324−90+30=48R(6) = -216 + 324 - 90 + 30 = 48R(6)=−216+324−90+30=48 極大値 R(5)=55R(5) = 55R(5)=55 と端点の値 R(0)=30,R(6)=48R(0)=30, R(6)=48R(0)=30,R(6)=48 を比較すると、最大値は t=5t=5t=5 のときの 555555 であることがわかります。したがって、生産効率が最も高くなるのは稼働開始から「5時間後」です。 【誤解しやすい点】 単に導関数が 000 になる極値だけを求め、端点（境界条件）との比較を怠ると、定義域内での本当の最大・最小を見落とす危険があります。実社会のデータ分析でも、境界条件の確認は極めて重要です。

学習ポイント

  • 導関数を用いた三次関数の極大値・極小値の求め方
  • 閉区間における関数の最大値を求める際、極大値と境界値（端点）を比較する重要性
  • 生産管理やオペレーションズ・リサーチにおける数学的モデリングの有用性

関連知識

この最適化アプローチは、経営工学やオペレーションズ・リサーチ（OR）の基本です。さらに高度なビジネスシーンでは、制約条件（人件費、燃料消費、部品の供給制限など）のもとで利益を最大化するために「線形計画法」や「非線形計画法」といった多変数最適化手法が用いられます。

出典

  • 文部科学省 高等学校学習指導要領（数学II・微分法の応用）
  • 日本オペレーションズ・リサーチ学会 導入教材

参考文献・参考資料

  • 『チャート式 基礎からの数学II+B』数研出版
  • 『経済学のための数学入門』基礎数学テキスト

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