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ロープの牽引力とベクトルの合力

算数16歳

1 回視聴

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ある荷物を2本のロープで同時に引っ張っています。ロープAが引く力 $\vec{F}_1$ の大きさは $5\, \text{N}$ 、ロープBが引く力 $\vec{F}_2$ の大きさは $3\, \text{N}$ であり、2本のロープのなす角は $60^\circ$ です。このとき、荷物に働く合力 $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ の大きさは何 $\text{N}$ になりますか？

Learning Guide

この問題をもっと深く学ぶ

詳細解説

物理における「力の合成」は、数学における「ベクトルの加算」そのものです。2つのベクトルを隣り合う辺とする平行四辺形を描いたとき、その対角線の長さが合力の大きさを表します。幾何学的に解く場合、平行四辺形の隣り合う角の和は

180^\circ

であるため、三角形の1つの内角は

180^\circ - 60^\circ = 120^\circ

になります。この三角形に余弦定理を適用すると、次のようになります：

|\vec{F}|^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \times \cos 120^\circ

\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}

であるため、

|\vec{F}|^2 = 25 + 9 - 30 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 9 + 15 = 49

よって、

\sqrt{49} = 7\, \text{N}

となります。代数的にベクトルの内積を用いて展開する場合も、同様に中間項がプラスとなって同じ結果が得られます。よくある誤解として、ベクトルのなす角

60^\circ

をそのまま余弦定理の公式のマイナス項に代入し、

5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \times \cos 60^\circ = 19 \Rightarrow \sqrt{19}\, \text{N}

としてしまうミスがあります。図形的な位置関係（ベクトルのなす角と、三角形の内角の違い）を意識することが重要です。

学習ポイント

ベクトルの和の大きさの公式 $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ の理解と適用
幾何学的な「平行四辺形の法則」と「三角形の余弦定理」の整合性の理解
ベクトルのなす角 $\theta$ と、余弦定理を適用する際の内角 $(180^\circ - \theta)$ の違いの認識
物理的な力の合成を数学のベクトル演算として定式化するスキルの習得

出典

数研出版『改訂版数学B』、啓林館『物理基礎』

参考文献・参考資料

文部科学省高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編・理科編

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180^\circ

であるため、三角形の1つの内角は

180^\circ - 60^\circ = 120^\circ

になります。この三角形に余弦定理を適用すると、次のようになります：

|\vec{F}|^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \times \cos 120^\circ

\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}

であるため、

|\vec{F}|^2 = 25 + 9 - 30 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 9 + 15 = 49

よって、

\sqrt{49} = 7\, \text{N}

60^\circ

をそのまま余弦定理の公式のマイナス項に代入し、

5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \times \cos 60^\circ = 19 \Rightarrow \sqrt{19}\, \text{N}

としてしまうミスがあります。図形的な位置関係（ベクトルのなす角と、三角形の内角の違い）を意識することが重要です。

学習ポイント

ベクトルの和の大きさの公式 $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ の理解と適用
幾何学的な「平行四辺形の法則」と「三角形の余弦定理」の整合性の理解
ベクトルのなす角 $\theta$ と、余弦定理を適用する際の内角 $(180^\circ - \theta)$ の違いの認識
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